「おじさん。数式処理ソフト DERIVE（デライブ）の7回目の記事の中でn！の近似式と実際の数字と少し違っているわね？」
「おー。ともちゃんか。うん、100！の例であるな。
LN（100！）≒363.7393755、一方、近似式からは、LN（100！）≒360.5170185となっているので、自然対数ベースで3程度違うの。対数でなくて実数に引き直して考えると真値／近似値≒25となるので、近似値より25倍ほど真値の方が大きいな」
「ずいぶん、ちがうじゃないの。もう少し、精度が上げられないの？」
「まあ、100！は、10の157乗という大きな数だからな。
大した違いではないとも言えるがのう。
しかし、より精度の高いスターリングの公式もあるのじゃよ。
n！≒√（2πn）×（n／e）^n×（1＋1／（12n）＋1／（288n^2）・・）というものであるな。
これにn＝100を代入して、自然対数に直すと、363.7393755となるな。これだと、DERIVEの既定である10桁の有効数字の範囲内では、差が分からないのう。
有効数字を20桁として計算してみるか。
このときは、真値≒363.73937555556349014、近似値≒363.73937555824479820であるから、真値／近似値≒1.0000000026813080598となる。大したもんじゃ」
「すごーい。実際の100！の値と1ぐらいしか違わないのかしら」
「いやいや。それは、誤解じゃ。
真値は、なんといっても157桁の数なので、上の比率は、ずいぶんと1に近いようでも、実数の差は、1×10^148程度の違いがあるのじゃよ」
「なんだー」
「おいおい。10の157乗の数からみれば、10の148乗程度の数は、10^9（10億）分の1の違いだよ」
「まあ、そうかもね。ところで、スターリングの公式って、どうやって出すの」
「う～ん。そう来ると思ったな。精度の高い式は、階乗をガンマ関数という関数に拡張してから、複素積分の鞍点法というものを使って出すのじゃ。
ともちゃんには、ちと、難しいのう」
「じゃ、普通の方は？」
「うん。n！＝n（n－1）・・1だから、n！＝n^nΠ（1－k／n）で、k＝0～n－1を動くので、LN（n）＝nLN（n）＋ΣLN（1－k／n）となるから、第1項は、すでに出ているの。問題は、第2項じゃな」
「第2項の和は、丁寧に書くと、0＋LN（1－1／n）＋LN（1－2／n）－・・LN（1－（n－1）／n）だわね」
「そう。第2項の級数の和は、このままでは求まらんの」
「じゃ、どうするの」
「こういうときは、級数を定積分で近似するのが定法じゃな。
n×ΣLN（1－k／n）（1／n）と書いて、nが大きいので、1／n≒dxと近似し、n×∫LN（1－x）dxとするのじゃ。
積分範囲は、0～1。この積分は、n×（－1）となるが、DERIVEでの方法は、解析メニューから積分を選択して、定積分を指定し、変域を指示すればよいので、ともちゃんにも、すぐ分かるじゃろう」
「ふ～ん。なるほど。これで、LN（n！）≒nLN（n）－nとなるわけなのね。
精密な公式との差は、級数を定積分で近似するのが粗いわけね？」
「まあ、そうも言えるな。
試みにΣLN（1－k／n）のkとk＋1との間でさっきの定積分では、LN（1－k／n）で代表してそれを元に、LN（1－x）と近似してしまったのじゃが、LN（1－k／n）とLN（1－k／n－1／n）との間の平均値で代表することを考えてみよう。
1／nをΔとして2つ目の項をテイラー展開してご覧」
「え～と。DERIVEに頼っちゃおと。Δの1次までで、LN（1－k／n）＋nΔ／（k－n）となるわね」
「そう。DERIVEでテイラー展開するときは、解析メニューからテイラー展開を選べばよい」
「これからどうするのかしら」
「うん。2つの間の平均値で補間するのだから、nΣLN（1－k／n）（1／n）＋（1／2）Σ（1／n）／（n／k－n）なので、これを定積分で近似すると、∫LN（1－x）dx＋（1／2）∫1／（x－1）dxとなるの。定積分の積分範囲は、0～1－（1／n）でよい。
結果が複素数になって驚くが、全体をまとめて、指数関数で元に戻してみるとn！≒n^（n＋1／2）×e^（－n＋1）となるな」
「すると、LN（n！）≒（n＋1／2）LN（n）－n＋1となってくるのね。
n＝100として計算してみると、LN（100！）≒363.8196036となるから、真値と比較すると、3桁目まで合ってる！」
「我々の式は、n！≒e√n）×（n／e）^nと変形し、精密な式と比較してみると、精密な方は、初項の係数が√2π≒2.506であるのに対して、我々の式は、e≒2.718と少し異なってはおる。とはいっても、初等的な考察でここまで来たのだから、とりあえず、よしとして、お茶でも入れて、一服するかの」
