3次方程式の一般の解法、すなわち、根の公式は、普通、学校（の数学科以外）では扱わないと思いますが、高校で複素数を習った際に、1のn乗根は、出てきましたね。
最も簡単な3次方程式、x^3－1＝0の解は、ω＝（－1＋√3i）／2、ω^2＝（－1－√3i）／2、1の3つです。3次方程式の一般解では、この複素根ωを利用すると複雑な式が簡潔になります。
なお、1次方程式を含めて最高次の次数が奇数の代数方程式は、少なくとも1つの実根を持つことは、1次方程式の場合と同様に平面上のグラフを考えれば、容易に理解できます。
さて、このあたりは、私が高校生の頃に購入した、科学新興社刊行のモノグラフシリーズ「９．数学史」（矢野健太郎著）（1967年）にやさしく、書かれています。
一般の3次方程式、a*x^3＋b*x^2＋c*x＋d＝0は、同書によれば、変換x＝y－b／（3a）により、y^3＋m*y＝nに簡単化されます。
DERIVEでやってみましょう。数式入力行に上記を入力し、ツールバーのSUBをクリックしてから、xをy－b／（3a）と変換します。
すると、m＝(3ac － b^2)/(3a^2)、n＝－(27a^2d － 9abc + 2b^3)/(27a^3)となります。
確かに上記の変換で一般の3次方程式は、y^3＋m*y＋n＝0に帰着されますね。同書によれば、この変換は、ピエートによる創案と書かれています。
次なる問題は、このような、3次方程式の解法です。イタリアのタルタリア（あるいはカルダノ）の解法は、次のようなものです。
まず、簡素化された方程式、y^3＋m*y＋n＝0、ここで、y＝u＋vと置きます。u^3＋v^3＋（3uv＋m）（u＋v）＋n＝0となります。
そして、u^3＋v^3＝－nのようにu、vを選べば、3uv＋m=0から、u^3v^3＝－m^3／27ですので、積と和の分かった、u^3とv^3は、2次方程式、t^2－nt－m^3／27＝0の2根として得られることになります。
こうして、u^3とv^3が得られますので、立方根をとった上で、y＝u＋vを思い出してyに戻すと、yの根の一つが得られます。そして、前出の変換によりxに直すと、ようやく根が得られました。
（※他の2根は、3次方程式を（y－根）で除した後の2次方程式を解いて得られます。）
2次方程式に比較するとかなり複雑ですね。ただ、ピエートによる変換x＝y－b／（3a）は、2次方程式では、変換x＝y－b／（2a）により完全平方式が得られますので、これにヒントを得たのかも知れません。
数式処理ソフト DERIVE（デライブ）では、x^3＋m*x＋n=0の解として、実根の他に2つの複素根を含めて、直ちに与えてくれます。
なお、1の3乗根をω＝（－1＋√3i）／2と書くと、M＝（1／2）（－n＋√（n^2＋4m^3/27））、N＝（1／2）（－n－√（n^2＋4m^3/27））として、この3次方程式の3根は、M^（1/3）＋N^（1/3）、ωM^（1/3）＋ω^2N^（1/3)、ω^2M^（1/3）＋ωN^（1/3）とも表されます。すなわち、一つの根が得られれば、前述の※のように改めて2次方程式を解く必要がないことになります。
具体的な方程式で確かめてみましょう。x^3 － x^2 － 4x － 6＝0の場合です。この解は、x = －1 －i 、 x = －1 + i
、 x = 3となりますね。
変換y＝x＋b／（3a）＝x－1／3により、y^3－13y／3－200／27＝0となります。すなわち、m＝－13/3、n＝－200/27です。これをM、Nの式に代入すると、M＝17√3/9
+ 100/27、N＝ － 17√3/9+100/27となります。
これから、yの一つの根が、M^1/3＋N^1/3＝8/3とでます。これでyの実根が8/3と分かりましたので、与式を（y－8/3）で割ります。
すると、9y^2 + 24y + 25=0が得られますので、ここからy = － 4/3 － i 、 y = － 4/3 +iであることが分かりました。
一方、1の3乗根ωとω^2を使う方法では、ωM^1/3＋ω^2N^1/3＝－ 4/3 + i、ω^2M^（1/3）＋ωN^（1/3）＝－ 4/3
－ iが得られ、上記で得られた答えと一致します。
結局、原方程式 x^3 － x^2 － 4x － 6＝0の根は、8/3＋1/3＝3、－4/3＋i＋1/3＝－1＋i、－4/3－i＋1/3＝－1－iとなるので、確かに合っていますね。
3次方程式も現実世界の様々な場所に現われます。
たとえば、よく知られた例として、「まんじゅう等分の問題」があります。
半径1の半球（「まんじゅう」と見立てみましょう）を底面に水平な平面で2つに上下に分割する場合、それぞれの体積が等しくなるような分割位置の高さh（z座標）を求めよ。
DERIVEでこの問題を扱う場合には、高さzのところの半径が√（1－z^2）で与えられ、その面積は、π×（1－z^2）であることに注目します。
そして、微小高さdzの円筒の体積が面積×dzであることから、z＝hから1まで積分して分割された上部の体積を求めます。
解析メニューから積分を選択して、積分域をhから1として定積分しましょう。
結果は、π(h^3 － 3h + 2)/3となります。これが球の体積＝4π／3の1/4である、π／3と等しくなることから、方程式は、次のようになります。
h^3 － 3h + 1 = 0、従って、その根は、h = 2COS(2π/9)、 － 2COS(π/9)、 2SIN(π/18)と3つありますが、0～1の間に入ることから、
求める解は、h＝2Sin（π／18）≒ 0.3472963553となります。