「微分とは微かに分かる、とも言うのう」
「微分は、高校で習うわね」
「まあ、そうじゃろう。微分は、普通は、グラフの傾き（接線）を求めるために、微分係数として導入するという方法になるんじゃろうな。
歴史的には、物体の運動の分析という観点から運動方程式の表現方法として、微分法がニュートンにより発見されたのじゃが、独立にライプニッツらも同様の考え方に達していたそうじゃな。
わしらが今使っている、dy/dxのような記法は、ライプニッツによると言われている。ライプニッツは、「解析の秘密はその記法にある」という名言を残しているのじゃよ」
「ニュートンの記法は、どんなものだったの？」
「xの微分は、xの上にドットを付けるという記法じゃったそうだな。今でも物理の方で使われることもある。
ニュートンは、もっぱら、時間による微分を考えていたということもあるじゃろうが、ライプニッツの記法の方が優れていることは、確かじゃな」
「数式処理ソフト DERIVE（デライブ）では、どうするのかしら？」
「微分したい関数を入力して、「解析」メニューから「微分」を選択するのじゃ。
ダイアログボックスで何階微分かを指定すればよい」
「命令式というボタンは、なにかしら？」
「これは、すぐに結果を計算せずに今ここで出てきたd/dx関数というような記法で式を表現するためのものじゃな。
計算（＝）を指示すれば、結果は、同じじゃ」
「何か例題がないかしら」
「いくつか、出してみようか。まずは、微分とは、無関係じゃがの。
第1問 平面上に2つの円がある。2つの円の下端は、x軸に接しており、また、2つの円同士は、1点で接しているという。
このときの2円の中心間の水平距離を求めよ」
「えーと。2円をAとBで表す。
それぞれの半径を aとbとする。a≦bとしても一般性は失われない。
2円の方程式は、Aの中心のx座標が原点であるとして、x^2＋（y－a）^2＝a^2、（x－c）^2＋（y－b）^2＝b^2、ここで2円ともx軸の上にあるとしている。
この式からまず、xを求めてyの2次方程式にして、判別式がゼロという条件から、c＝2√abとなるのでこれが正解」
「そのとおり。続いて第2問。第1問で接している点における接線の傾きは、いくつか？」
「接点は、円Aの中心（0，a）とBの中心（c，b）を通る直線上なので、まず、直線の方程式を立ててから、接点の座標値は、（ 2√ba^(3/2)/(a
+ b)，2ab/(a + b)）となるわ。そこでと、円Aの方程式をxで微分すると・・あらら」
「うん。そのまま微分するとyがxの関数ということが伝わっていないので、yの微分がゼロになってしまうのう。
今の例では、2円の中心を結ぶ直線と接線は直交する。直線の傾きは、(b － a)/(2√a√b)なので、これに直交する接線の傾きは、－2√ab／（b－a）となる」
「検算は？」
「この例では、円Aの方程式は、yについて解くと2価になってやっかいじゃが、xについては、1価関数になる。接点のdx/dyを求めれば、よいじゃろう」
「なるほど。dy/dx＝１／（dx/dy）か。確かにライプニッツさんの言うことが分るわ」
「では、第3問。地球の周りを地上からの高度hで人工衛星が真円軌道を描いて回っている。
人工衛星に働く加速度を求めよ。ただし、重力定数は、G、地球は半径Rの球とする。」
「人工衛星の質量をm1、地球の質量をm2とすると、人工衛星に働く力は、地球の中心に向かって、万有引力 F＝Gm1m2／（h＋R）^2。この力と遠心力が釣り合うので、遠心力＝m1×αでαが加速度で、α＝Gm2／（h＋R）^2となるのかしら？」
「もし、h＝0とすると、α＝Gm2／R^2≒9.799となるので、よく知っている地球表面での重力加速度、約9.8 m／s^2と合ってるのう」
「運動方程式からは、どうなるのかしら？」
「そうだの。平面座標で考えると地球の中心を原点とした適当な直交座標では、mx''＝Fx、my''＝Fy、ここで、Fx、Fyは、x及びy軸方向の力の成分じゃ。
回転の向きは、反時計回りとして回転の角度をθとする。中心からの距離をrとすると、x＝rcosθ、y＝rsinθである。
DERIVEでは、関数の定義でx(r,θ)=rcosθ、y(r,θ）＝rsinθと定義する。更にr(t)、とθ(t)を定義する。
rとθは、定義式は入れないが、引数を時間tとしておく。
mx''＝Fx、my''＝Fyから、COS(θ(t))(r''(t) － r(t)θ'(t)^2) － SIN(θ(t))(2θ'(t)r'(t)
+ r(t)θ''(t))＝Fx／m
COS(θ(t))(2θ'(t)r'(t) + r(t)θ''(t)) + SIN(θ(t))(r''(t) － r(t)θ'(t)^2)＝Fy／m
更に、Fr＝Fxcosθ＋Fysinθ、Fθ＝－Fycosθ＋Fxsinθであるから、FxとFyを求めて、上式に入れて、FrとFθを求めると、
m（r''(t) － r(t)θ'(t)^2）＝Fr、 － m(2θ'(t)r'(t) + r(t)θ''(t))＝Fθとなる。これが極座標での運動方程式じゃよ」
「今回のケースでは、Fθ＝0から、ω(t)×r(t)^2＝一定になる。
ωtとするとθ方向の式は、恒等式となるのね。r方向では、－ω^2（h＋R）＝－Gm2／（h＋R）^2だから、
ω = √(Gm2/(h + R)^3)となるわ」
「静止衛星とするには、どうしたらよいかな？」
「周期が1日というので、2π／ω＝24*3600秒とすればよいので、h≒3.58×10^4Kmとなるわ」
「これが静止衛星は、地上約36000キロメートルの上空にあるということじゃよ」
