「お早う。あれ、おじさん、頭を抱えているわね」
「おっと。いや。恥ずかしいことだが、楕円の離心率と扁平率を勘違いしておったのじゃ」
「なに、離心率って」
「ちょうど、いいチャンスだから、数式処理ソフト DERIVE（デライブ）で再確認してみるかの」
「まず、楕円じゃが、その定義は、なんじゃな？」
「平面上で相異なる2点からの距離の和が等しい点の軌跡でしょ」
「うん。よく覚えておったな。
そこで、直交座標での方程式とその定義との関係を確かめてごらん」
「えーと。標準的な方程式は、x^2／a^2＋y^2／b^2＝1でしょ。
一方、2点をA（－c，0）、B（c，0）とするとき、点P（x，y）との関係は、AP＋BP＝一定かどうかを確かめるのね？」
「そうじゃ。そのとき（c,0）が一つの焦点となるのじゃ」
「√((x + c)^2 + y^2) + √((x － c)^2 + y^2)が距離の和だけど、方程式の方から、その和の大きさは、y=0のときのxの大きさの2倍なので、2aとなることが分る。
そして、y^2を方程式から距離の和＝2aの式に代入して、xの如何に関わらず、この式が成立するためには、c＝√（a^2－b^2）であることが分る。
そして、この値を距離の和の式に代入して整理するとその値は、恒等的に2aとなる。
こんなことかしら。でも、DERIVEだと、なかなか、平方根の中の式が因数分解できないのね」
「そうじゃな。こういうときは、ずるいがx＝acos(s)、y=bsin(s)として、距離の和の式に代入すれば、標準形の式は、自動的に満足されているので、比較的、簡単じゃな。それでも、ABS(√(a^2
－ b^2)COS(s) － a) + ABS(√(a^2 － b^2)COS(s) + a)となって、a>bを使うとなんとか、恒等的に2aとなることが示せるの」
「それで、離心率って？」
「そうじゃったな。離心率e＝√（１－（b/a）^2）。さっきのcとの関係は、c＝a×eとなるのじゃ。
一方の扁平率は、１－（b/a）じゃった」
「もうひとつ、焦点は？」
「今、（－c，0）から出た光線が楕円周上で反射されたとする。
このとき、この反射光線は、必ず、もう一つの焦点（c，0）を通るのじゃよ」
「じゃ、その光線の方程式を立てるよ。
この直線と楕円との交点を計算すると、2点があるね。そうか、反対側もあるわけだし、結構ややこしいわね」
「まあ、そうじゃな。そのまま、計算しようとすると面倒になる。ここは、もう少し、一般的に考えてみよう。
曲線の方程式が、［x(t),y(t)］とパラメータ表示されていたとする。楕円の場合は、x=a*cos(t)、y=b*sin(t)じゃ。
点A（－c,0)から発した光線と交わる点をR（x，y）とする。楕円の場合は、Rが第1象限の場合としてみる。
Rにおける接線の方向をθとするとtan(θ） =y'(t)/x'(t)。接線方向の単位ベクトルをvtとするとvt＝（cosθ,sinθ）であることは分るな。
Rでの法線（接線に垂直な外向き）の単位ベクトルはどうなるじゃろう」
「接線ベクトルvtを反時計回りに90度回転すればよいわけね」
「そう。ここで、前回出てきた行列を使ってみよう。行列M=[[cos(z),sin(z)],[－sin(z),cos(z)]]が反時計回りにzだけ回転する場合の変換行列じゃ。
法線方向の単位ベクトルをvsとすると、vs＝vt×M（z＝π／2）= [－ SIN(θ), COS(θ)]。
次にRA方向の単位ベクトルをvaとすると、va＝－vs×M（z＝－φ）。ここで、入射角をφとした。
一方、反射光線の方向の単位ベクトルをvbとすると、
vb＝－vs×M（z＝φ）である。
まず、vaの具体的な式は、
va＝ [SIN(θ)COS(φ) － COS(θ)SIN(φ), － COS(θ)COS(φ) － SIN(θ)SIN(φ)]
ここで、単位ベクトルvaの延長線上の点は、すべて原点Oからの位置ベクトル、ra＝α×va＋[x(t),y(t)]と表せることに注意する。αは、任意の実数じゃ」
「ということは、raは、点A（－c，0）を通るので、[－c,0]＝ra＝α×va＋[x(t),y(t)]とおいて、αと未知の角度φがここから決められるのね」
「うん、そういうことじゃな。楕円では、長径を長さの単位と考えて、1として、短径をw（<1)としよう。x(t)=cos(t)、y(t)=w*sin(t)となるので、具体的な計算は、少し、込み入るが、
α = (COS(t) + c)/(COS(θ)SIN(φ) － SIN(θ)COS(φ)) ∧ α = wSIN(t)/(COS(θ)COS(φ)
+ SIN(θ)SIN(φ))となる。
αの最初の式を使って、raを具体的に表し、このあたりで、tanθ＝－w／tan（t）、c＝√（1－w^2）を使うと、
tanφ＝√(1 － w^2)SIN(t)/w
と簡単化できる」
「一方、vb＝－vs×M（z＝φ）＝[COS(θ)SIN(φ) + SIN(θ)COS(φ), SIN(θ)SIN(φ) － COS(θ)COS(φ)]なので、さっきと同様に単位ベクトルvbの延長線上の位置ベクトルは、rb＝βvb＋[x,y]とかけるので、反射光線とx軸との交点である、Bの位置をrb＝［x2，0］とすると、
βの値は、β＝(x2 － COS(t))/(COS(θ)SIN(φ) + SIN(θ)COS(φ))となる。これをrbに入れてBのy座標がゼロであることから、
wCOS(t)^2TAN(φ)/SIN(t) － COS(t)(wx2TAN(φ)/SIN(t) + w^2 － 1) + wSIN(t)TAN(φ)
－ x2 = 0。
先に求めていた、tanφ＝√(1 － w^2)SIN(t)/wを使うと、－ (x2√(1 － w^2) + w^2 － 1)COS(t) +
√(1 － w^2) － x2 = 0。
この式がtの如何に関わらず、恒等的にゼロとなるためには、x2＝√（1－w^2）が必要である。これは、Bの位置は、原点についてAの位置と対称的であることで、B（c，0）がもう一つの焦点であるということなのね」
「そうじゃな、ところで、αの2つめの式と先ほど使った1つめのαの式を等しいと置いてもtanφに関する式は、出てくるようじゃ」
「三角関数の計算は、DERIVEでは、苦手のようね」
「特に三角関数を含んだ式の因数分解が苦手じゃな。そういうときは、「代数」メニューの「式の置換」を使って、一時的にcosθなどを一時変数、uやvなどと置いてみるとよいようじゃな」
