「ともちゃんは、今日は、来ないのかな。では、その間に「双曲線」についても、調べておこう。まず、標準形はと、x^2/a^2－y2/b^2＝1じゃったな。
たとえば、a＝1、b＝0.5として、グラフを描いてみると、ふーん。放物線とよう、似てる。確か、2点からの距離の差が等しい点の軌跡じゃったな。
2点を楕円にならって、A（－c、0）とB（c，0）としてみるか。
数式処理ソフト DERIVE（デライブ）では、
√((－c － x)^2 + y^2) － √((c － x)^2 + y^2) = const。これを変形して、少し、面倒だが、結局は、4x^2/const^2
+ 4y^2/(const^2 － 4c^2) = 1となる。ここで、const^2/4 = a^2、c^2 － const^2/4 = b^2とおいてみると、const＝2a、c＝√（a^2＋b^2）となる。これらにより、与式は、x^2/a^2－y2/b^2＝1となる」
「光の反射との関係は？」
「おっと、ともちゃんか。それは、焦点という名前があるぐらいじゃから、関係はあるじゃろう」
「WEBで調べてみたら、「焦点Bからの光線と双曲線との交点Rとしたとき、Rからの反射光線は、あたかも焦点Aから直接進んだ光線と同一と見なせる」らしいの」
「ほー。ちと、複雑じゃな。グラフの第1象限を考えて、a=1として長さの単位とする。y(x) = w√(x^2 － 1)、c=√（1+w^2）じゃな」
「第1象限の双曲線上のR（x、y）の接線ベクトルvt＝[cosθ，sinθ]で、tanθ＝wx/√(x^2 － 1)。
Rでの法線ベクトルvs＝vt×M（z＝π/2）。ここで、Mは、回転行列だったわね。vs＝[－ SIN(θ), COS(θ)]となるわ」
「そうじゃ。そこで、入射光線方向への単位ベクトルva＝－vs×M（－φ）、反射光線方向への単位ベクトルは、vb＝－vs×M（φ）だな」
「va＝[COS(θ)SIN(φ) + SIN(θ)COS(φ), SIN(θ)SIN(φ) － COS(θ)COS(φ)])となるのね]
「また、vb＝[SIN(θ)COS(φ) － COS(θ)SIN(φ), － COS(θ)COS(φ) － SIN(θ)SIN(φ)]じゃな。
ただ、放物線や楕円のケースとは、証明しようとすることが少し、異なる。
つまり、入射光線は、たとえば、本当は、B点（c，0）から出ているのじゃが、逆にX軸の正方向遠方からA点（－c，0）を目指しR点を経由して、直進してくる入射光線がR点で反射し、その反射光線がB点を通るかどうかで真偽を判定してもよい訳じゃ」
「言葉で書くとややこしいわね」
「う～ん。確かにのう。ra＝αva＋[x，y]というベクトルは、OAと一致するようにαを決められる。一方、rb＝βvb＋[x，y]というベクトルは、OBと一致するようにβを決められる。反射角φは、この両方を満足させる必要がある、ということかの」
「まずは、最初の方の条件からは、
αCOS(θ)COS(φ) － αSIN(θ)SIN(φ) － w√(x^2 － 1) = 0 －－（1）
c = － αCOS(θ)SIN(φ) － αSIN(θ)COS(φ) － x －－（2）が出てくるわ。
2つめの条件からは、
βCOS(θ)COS(φ) + βSIN(θ)SIN(φ) － w√(x^2 － 1) = 0 －－（3）
c = － βCOS(θ)SIN(φ) + βSIN(θ)COS(φ) + x －－（4）がでてくる。
「（1）から、α = w√(x^2 － 1)/(COS(θ)COS(φ) － SIN(θ)SIN(φ))、
（3）から、β = w√(x^2 － 1)/(COS(θ)COS(φ) + SIN(θ)SIN(φ))、
一方、（4）－（2）からは、上の関係とtanθ等を利用して、COS(φ) = w/√(x^2(w^2 + 1) － 1)となる」
「うん。φが出てくるの。それを使うと、α＝ － x√(w^2 + 1) － 1、β＝ (x^2(w^2 + 1) － 1)/(x√(w^2 +
1) + 1)と具体的に係数を決められるな」
「そうすると、たとえば、xが1のときは、α＝－√（w^2＋1）－1なので、ra＝αva＋[x，y]＝[1 － √(w^2 + 1), 0]＝[－
√(w^2 + 1), 0]となるわ」
「x＝1のときは、φ＝0、θ＝π／2なのでそうなるの。グラフを描いてみようかの。
w＝2、R点を（3/2，√5）として、グラフを描くと上図のようになるな。上図では、縦横比が１：１ではないので、注意して欲しい」
