数式処理ソフト　DERIVE（デライブ） de ドライブ

40．ベクトル解析（１）

１．VISTAでのヘルプファイルの表示

「VISTAで、数式処理ソフト DERIVE（デライブ）のヘルプファイルが使えないのは、やっぱり、不便ね」

「そうじゃな。ベクトルAのrot Aの演算が見つからなくて、わしゃ、作ってしもうたがな。後で調べたら、CURL（A）だそうじゃな」

「でしょ。でしょ。なんとかしてよ！」

「マイクロソフトのサポートページにアクセスして、必要ファイルをダウンロードして、インストールせにゃならんが、ちと、面倒じゃな。
ともちゃん、やっておくれ」

「ハイハイ。「Windows ヘルプ (WinHlp32.exe) プログラムを必要とするヘルプ ファイルを開くことができない問題を解決する、Windows Vista 用および Windows Server 2008 用のダウンロードについて 」（マイクロソフト：http://support.microsoft.com/kb/917607）のことね。
それにしても、長いタイトル。インストール完了よ」

「今度は、どうじゃな」

「バッチリ。でも、いちいち、「このマクロの実行には問題があります」という「注意」が表示されるのも、うざったいわね」

「それも、そのページの後段に説明があるのじゃが、解消するには、レジストリを操作する必要があるようじゃな。当面、やむを得んじゃろうて。
それより、このあたりで、rot（A）などのベクトルの演算について、ともちゃん、ご苦労ついでに紹介しておくれ。
わしゃ、少し、夏ばて気味なので休んでおるからな」

２．方向余弦

「あーもう。ずるいわね。しょうがないか。でも、なんか参考書がないと難しいわね。おじさんの本棚にはないかな。
「ベクトル解析　倍風館」（安達忠次著：昭和45年 改訂版）か。ずいぶん、古い本だけど、ま、基礎的なことは関係ないか。まずは、方向余弦ね」

以下、私、「ともちゃん」が説明するので、「　」書き（「せりふ」よ！）は、省略します。では、スタート。
　このあたり、橋本治さんの「桃尻語訳　枕草子」（河出書房）を意識してんのが分かる？　あたし、清少納言よ、（違うか）
　でも。変ね。「女ことば」で書かれると分かりやすいなんてね。そこで、わたくし考えるんだけど、女の話って無駄なおしゃべりが多いわね。でもそのムダが実は、文中で、適当な「間」をとる効果があるのじゃないかなーと。
　普通の数学や物理の教科書って、一寸のムダも無いように書かれているでしょ。ムダがないって事が必ずしも、効率的でないってことなの、分かる？。要は、女のおしゃべりは、ムダのように見えてムダでないのよ！？
　で、そのムダを省いてしまうと、「あっちの方の国」のように自爆テロなんて考えてしまうのだと思うのよね。「あっちの方の国」って？　あっちって、あっちよ！
女や酒、タバコって、ムダな部分もあるかも知れないけど、全部省いてしまうと、世の中、ギスギスしてストレスが溜まっちゃうんじゃないかしら。

　さて、閑話休題（この言い方、古！）、ベクトルAの成分をAx、Ay、Azとするとき、すなわち、A＝［Ax，Ay，Az］として、l＝cosθ＝Ax/A。ただし、x軸とAとのなす角をθとする。同様にm＝Ay/A、n＝Az/A 。これらのl、m、nをAの方向余弦というのよ。
　なお、Aは、Aの大きさを表します。DERIVEでは、A＝ABS（A）と書くことは、すでに知っているでしょ。
方向余弦そのものを求める関数はないみたい。DERIVEのヘルプは、ぜんぶ英語だから、方向余弦の英訳（「drirection cosine」って、言うの）が分からないと引きようがないけどさ。
　ま、無いときは、自分で作ってもいいわけ。あんまり必要はないかも知れないけど。こんな風にすれば、いいと思うの。
　方向余弦を求める関数を、dc_user（vec）：＝［vec ↓1/ABS(vec)，vec ↓2/ABS(vec)，vec ↓3/ABS(vec)］と定義する。userを付けたのは、ユーザ定義という意味なの。
　でも、vecの大きさがゼロとなることも考えると、IF関数を使って、
dc_user(vec) ：＝ IF(ABS(vec) ≠ 0, [vec↓1/ABS(vec), vec↓2/ABS(vec), vec↓3/ABS(vec)], [0, 0, 0])) としてもいいけど、vecに変数が含まれていると、閉じた形にならないので、使いにくいわよ。
　ということで、dc_user（vec）で方向余弦が求められるという訳。以上、方向余弦、終わり。

３．内積と外積

これは、すでに出ているので、おさらいね。特に断らない限り、今までと同様に3次元のベクトルとします。
AとBとの内積は、A・Bと書く。「内積」の演算子は、DERIVEの右下のパレットの「・」よ。A・B＝AxBx + AyBy + AzBz＝ABcosθでもあるよのね。内積は、スカラー量（普通の数）であることが分かるわね。
次は、外積。A×B＝([AyBz － AzBy, AzBx － AxBz, AxBy － AyBx])、大きさは、ABsinθ、方向は、AからBに右ねじを回転させたときにねじが進む方向であることも、すでに出てきたわ。外積演算子「×」は、右下のパレットにあるわ。
ここでは、内積、外積に関するいくつかの演算の復習ね。
A・B＝B・A、A・（B＋C）＝A・B＋A・Cというあたりは、常識よ。
A×B＝－B×Aというのは、前回、こっそりと、登場しているの。おじさんは、はっきりと書いていないけどさ。これは、右ねじのことを考えると定義から明らかね。
これも定義から明らかだけど、A×A＝0、ここで0は、ゼロベクトルね。分かっているときは、ただの、0と書くこともあるわ。
スカラー3重積とは、A・（B×C）＝Ax(ByCz － BzCy) + Ay(BzCx － BxCz) + Az(BxCy － ByCx)＝B・（C×A）＝C・（A×B）であることは、直接、計算しても分かるわね。
この本によれば、スカラー3重積は、A、B、Cを3辺とする平行6面体の体積を表すそうよ。B×Cの大きさは、BC底面の面積で方向は、底面に垂直なので、その垂直ベクトルとAとの内積は、Acosθなので、平行6面体の体積となることが分かるかしら。
で、次。ベクトル3重積よ。
A×（B×C）＝[Ay(BxCy － ByCx) + Az(BxCz － BzCx), Ax(ByCx － BxCy) + Az(ByCz － BzCy), Ax(BzCx － BxCz) + Ay(BzCy － ByCz)] 。
これを、A×B×Cと書いちゃダメ。（A×B）×C≠A×（B×C）なのよ。A×B×Cと書くと、どっちだか、わかんないでしょ。
で、上の式を眺めると、A×（B×C）＝[Bx(AyCy + AzCz) － Cx(AyBy + AzBz), By(AzCz + AxCx) － Cy(AxBx + AzBz), Bz(AxCx + AyCy) － Cz(AxBx + AyBy)] と変形できるけど、（A・C）Bx－（A・B）Cx＝（AxCx+AyCy+AzCz）Bx－（AxBx+AyBy+AyBy）Cx＝Bx(AyCy + AzCz) － Cx(AyBy + AzBz)なので、斜体で書いた項は消えるから、結局、A×（B×C）＝（A・C）B－（A・B）C と変形できるという訳。

４．微分

ベクトルAを［u，v，w］と書いて、各項は、x,y,zの関数とします。
dA/dxは、［du/dx，dv/dx，dw/dz］という意味を表すことにするの。
DERIVEでは、たとえば、uをx,y,zの関数であると定義するとき、u(x,y,z):= と書くだけで言いのよ。右辺は、書かなくていいの。知ってるでしょ。
すると、ベクトルAを定義した後では、Aをxで微分すると、dA/dx＝([∂(u(x, y, z), x), ∂(v(x, y, z), x), ∂(w(x, y, z), x)]) となってくれるの。（DERIVEの画面では、普通の微分係数で表示されるのだけど、コピーするとこうなっちゃうのね）
ここで、∂は、∂（関数，微分する変数）という意味。それと、DERIVEでは、u,v,wをx,y,zの関数と定義した後では、ベクトル、A:=［u,v,w］とは、定義できなくて、
A:=［u(x,y,z)，v(x,y,z)，w(x,y,z)］と書かなくちゃ、Aを定義できないの。ちょっと、面倒だけど仕方ないわ。
この∂を使うと、rot（A）などを自分で作ることができます。rotは、DERIVEでは、CURL（ ）という名前の関数で定義済みなのだけどもね。
おじさんも作ったって、言ってたじゃない。ユーザ定義なので、userを付けます（userを付けるのは、必須じゃないけどね。分かりやすいでしょ）。こうするの。
rot_user(vec)：＝ [∂(vec↓3, y) － ∂(vec↓2, z), ∂(vec↓1, z) － ∂(vec↓3, x), ∂(vec↓2, x) － ∂(vec↓1, y)]
試しに、上のAを引数とすると、rot_user（A）＝[∂(w(x, y, z), y) － ∂(v(x, y, z), z), ∂(u(x, y, z), z) － ∂(w(x, y, z), x), ∂(v(x, y, z), x) － ∂(u(x, y, z), y)] となってくれるわ。CURL（A）としても、同じになるのよ。当たり前だけどね。

５．▽またはGRAD

安達先生の本だと、このあと、座標変換だとか、運動方程式とか、いっぱい章があるんだけど、ここは、ベクトルの演算ということなので、飛ばしてしまいます。
そこで、まずは、関数φ（x,y,z）からベクトルを作る演算ね。これは、知ってるでしょ。
直角座標では、▽φ＝［∂（φ，x），∂（φ，y），∂（φ，z）］よ。
▽は、ナブラと読むのよ。でも、DERIVEでは、GRAD（ ）という関数なの。英語の「勾配」という意味の gradation から来ているんでしょう。
それっと、安達先生の本の注によると、ナブラというのは、nablaで、ヘブライの竪琴の名前である、と書かれているわ。形からそう言うんだと思うの。優雅な名前。知らなかったでしょ。ハミルトンの演算子とも言うそうよ。ホント、勉強になるわね。
物理的には、A＝－▽φと書いて、φをAのポテンシャル（関数）と呼ぶのは、知ってると思うけどさ。
さて、前述のu（x,y,z）から、－▽uは、－GRAD（u（x,y,z））＝－[∂(u(x, y, z), x), ∂(u(x, y, z), y), ∂(u(x, y, z), z)] と計算できるわ。
極座標などの別の座標系では、表現が違ってくるけど、別の回に、おじさんにやってもらうわ。

６．▽・またはDIV、及びラプラシアン

DIVって、発散よ。divergence このスペル、知ってた？　私、知りませんでした。ハイ。diverge とは、英語で、分かれる、分岐するなどの意味があるようよ。
で、▽・A＝div（A）＝du/dx＋dv/dy＋dw/dz 。
DERIVEでは、たとえば、DIV（A）とすれば、∂(u(x, y, z), x) + ∂(v(x, y, z), y) + ∂(w(x, y, z), z) と計算できるわけ。
次。ラプラスの演算子。ラプラシアン（ Laplacian）。ナブラ2乗とも言うのね。
▽²φ＝△φ＝DIV（▽φ）とすれば、∂(φ(x, y, z), x, 2) + ∂(φ(x, y, z), y, 2) + ∂(φ(x, y, z), z, 2) などとなるのね。

ファイ！　皆さん。（違うわね）　ハイ！　皆さん。ここで、DERIVEでの新らしい記法が出てきたわよ。
∂（関数，変数，微分回数）なの。微分回数が1のときは、省略できたのね。
ベクトルがポテンシャル関数から導かれる場合は、A＝－▽φなので、div（A）＝▽・（－▽φ）＝－▽²φ＝－（d²φ/dx²＋d²φ/dy²＋d²φ/dz²） と書けるのよ。
やさしい例だと、質量mの物体に作用する地上付近の重力は、上向きにz軸の正方向をとれば、f＝－mgで、fは、ポテンシャル関数、φ＝mgzから導かれるでしょ。このφは、d²φ/dz²＝0という、通称、ラプラスの方程式を満たす関数になっているのよ。
　ラプラスの方程式、▽²φ（＝△φ）＝0を満たす関数を調和関数というそうよ。覚えておきましょ。

７．▽× または rot または curl

最後に、回転よ。ああ、疲れた。そろそろ、おじさんにローテーションしょっと。rotation よ。
　▽×A＝rot（A）＝[∂(w(x, y, z), y) － ∂(v(x, y, z), z), ∂(u(x, y, z), z) － ∂(w(x, y, z), x), ∂(v(x, y, z), x) － ∂(u(x, y, z), y)] 。
　だけど、DERIVEでは、rot という表記ではなくて、curlなの。カールよ。お菓子のカールと同じ。頭の毛のカールも。
　curl（A）なの。さっき言ったように、rotという演算関数は、DERIVEでは、定義されていないの。気をつけてね。
　ついでに言っておくと、ベクトル Bが、B＝curl（A）（＝rot（A））のように、別のAから導かれるとき、AをBのベクトルポテンシャルといいます。電磁気や流体で出てくるのね。

８．諸公式

「ともちゃん。お疲れさんじゃった。最後に▽などを含んだ公式を並べて欲しいのう」

「もう、人使いが荒いわね。了解っす。
では、以下の公式を証明せよ。ジャーン。ただし、DERIVEを使え」

１．f（x,y,z）、g（x,y,z,）を3次元空間上の関数とする。また、Aは、同様にベクトル関数とする。
　このとき、▽（f * g）＝g▽f＋f▽g 。
　DERIVEで扱うときは、左辺と右辺を別々に計算し、引き算して、ゼロ（この場合は、ゼロベクトル）になることを確かめる、ということね。
　この場合は、▽演算子が本質的に微分演算子なので、関数の積の微分を考えると、この結果は、納得ね。

２．div（f * A）（＝▽・（f * A））＝▽f・A＋f▽・A（＝▽f・A＋f * div（A））
　最初に、関数 u、v、wを u（x,y,z）:= などと定義しておき、それを使って、A:=［u（x,y,z），v（x,y,z），w（x,y,z）］とベクトル関数Aを定義するのよ。
　後は、左辺と右辺を計算して引き算を行います。内積のところで、CONJ（　）という関数が出てくるので、びっくりするけど、「複素共役」という意味なの。ここは、すべて実数なので、CONJ（ u（x,y,z））などを、DERIVEの代数メニューから「式の置換」を利用して、 u（x,y,z）に置換してしまいます。

３．rot（f * A）（＝▽×（f * A）＝CURL（f * A））＝▽f×A＋f * rot（A）
　これは、そのまま、問題なく左辺－右辺＝ゼロベクトルと計算できるわね。

４．div（A×B）（▽・（A×B））＝B・（▽×A）－A・（▽×B）（＝B rot（A）－A rot（B））
　この場合も、CONJ関数が現れるわ。DERIVEさんに、u などが実関数だと伝える方法がないのかしらね。

５．rot（A×B）（＝▽×（A×B））＝（B・▽）A－（A・▽）B＋A div（B）－B div（A）
６．▽（A・B）（＝grad（A・B））＝（A・▽）B＋（B・▽）A＋A× rot（B）＋B×rot（A）
７．▽×（▽f）＝0
８．▽×（▽・A）＝0
９．▽×（▽×A）＝▽（▽・A）－▽²A

「あー。5番目以降は、時間が無くて、DERIVEで証明できましぇんでした。皆さん、Let's Try！」
※上記公式は、前述の安達先生の本及び「科学技術者のための数学ハンドブック」（鈴木増雄・香取眞理・羽田野直道・野々村禎彦 著：朝倉書店2002年9月）から抜粋しました。

最終更新日　2008/8/20