数式処理ソフト　DERIVE（デライブ） de ドライブ

５０．複素関数（５）（留数、留数定理とその応用）

１．留数

「数式処理ソフト DERIVE（デライブ）は、今回で、第50回を迎えることが出来た。
　いや、めでたい。これも、ともちゃんのおかげじゃな」

「えへん。どんな問題、じゃない、どんなモンダイ！」

「だいぶ、難渋した複素関数のシリーズもようやく、一応の終着駅が見えてきたの。
記念すべき第50回は、留数を使って定積分の値を計算するという方法を解説しよう」

「∫（x＝0～∞）（1/（1+x⁴））dx＝π/（2√2）などね」

「うん、そうじゃのう。問題にもよりけりじゃが、複素関数、特に留数を使うと、エレガント、かつ、簡単にできることがあるのじゃな」

「じゃ、早く、『留数』さんを紹介してよ」

「ω（z）は、閉曲線上で積分すると、閉曲線内に特異点がなければ、コーシーの積分定理から、積分値は、ゼロになる。
しかし、特異点があるときは、一般には、ゼロにはならない。では、どうなるか。
ω（z）がz＝z0に極を持つものとする。たとえば、ω（z）＝1/（z+1）のようなものじゃな。z0＝－1は、1位の極じゃ。
一般に、複素関数 ω（z）を特異点 z＝z0でローラン展開すると、ω（z0）＝Σa_n×（z－z0）ⁿ と書ける。
このとき、前回出てきた、ローラン展開では、係数、a_n＝（1/2π#i）∫ω（s）/（s－z0）ⁿ⁺¹ ds じゃった。
もし、ωが閉曲線の内部に他に極を持たなければ、n＝－1として、直ちに、a_－1×2π#i＝∫ω（s）ds であることが分かる。
すなわち、右辺の定積分が左辺のa_－1を元に計算できるということじゃ。
このようなa_－1のことをω（z）のz0での留数というのじゃ。z0での留数を、Res（ω（z0））と書くこともある。
この、Resは、英語の『residue』（余り）ということから来ているようじゃな」

２．留数の応用（１）

「なんども引用して気が引けるのじゃが、ハンドブックにこのような例が載っている。
∫（原点を中心とする半径rの円）sin（z）/z⁴ dz の値を求めよ。どうじゃな」

「z＝0がただ一つの極である。
sin（z）＝z－z³/3!＋z⁵/5!－＋・・ なので、ω＝1/z³－1/3!z＋z/5!－＋・・、これは、ローラン展開となっている。
これから、a_－1＝－1/6 であるので、∫（原点を中心とする半径rの円）sin（z）/z⁴ dz＝－π#i/3 となる。
念のため、DERIVEで計算してみると、近似値しか計算できないけど、計算値は、－ 1.047197551 #i となって、真値＝－1.047197551 #i と一致するわ」

３．留数の求め方（１）　（１位の極の留数）

「いちいち、ローラン展開を意識して考えるというのも面倒じゃないの」

「うん。留数のみを求めたいという、わがままな方向けに次のような簡単な求め方がある。
まずは、1位の極がある場合は、lim（z → z0）（z－z0）×ω（z）＝a_－1 、これは、ローラン展開を思い浮かべると納得じゃろう。
あるいは、ω（z）＝f（z）/g（z） と書けた場合で、g（z0）＝0、f（z0）≠0で正則とする。
このとき、g（z）＝Σ（n＝1～）g^（n）（z0）（z－z0）ⁿ/n! とテイラー展開できる。ここで、g^（n）（z）は、g（z）の第n階微分を表すとものする。
すると、lim（z→z0）（z－z0）×f（z）/（（z－z0）（g^（1）（z0）＋g^（2）（z0）（z－z0）/2!＋・・））＝f（z0）/g^（1）（z0）＝a_－1ということが分かる。
すなわち、a_－1＝f（z0）/g^（1）（z0） ということじゃ」

「ふ～ん。じゃ、∫（原点の回りの円）exp（－z²）/z dz は、そんな例ね」

「そうじゃな。この場合、z＝0が１位の極で、lim（z→0）z×exp（－z²）/z＝1 となるので、
∫（原点の回りの円）exp（－z²）/z dz ＝2π#i≒6.283185307 #i　、DERIVEで検算すると、近似値しか計算できないが、正しいようじゃな」

「すごいわ。∫（原点の回りの円）exp（－z）/sin（z） dz の場合は、どうなるかしら」

「分母の関数 g（z）＝sin（z） で、留数＝exp（－0）/cos（0）＝1、なので、∫（原点の回りの円）exp（－z）/sin（z） dz＝2π#i
DERIVEで近似計算すると、2.111648785×10^(－11) + 6.283185307 #i となるので、正しいであろうことが分かる」

「DERIVEで厳密な結果が求まりそうもないときは、まず、命令を実行するのじゃなくて、「命令式」というボタンを押すと、無理に計算しようとせずに次々と式を変形や代入できるのね。これは、便利！」

「∫（原点の回りの円）cos（z）/sin（z） dz にも使えるの？」

「同様に、cos（0）≠0より、留数＝cos（0）/cos（0）＝1 なので、∫（原点の回りの円）cos（z）/sin（z） dz＝2π#i 」

４．留数の求め方（２）　（高位の極の留数）

「z＝z0が1位より大きい極となっている場合は、次のように留数を求めることができるのじゃな。
ωがz0でm位の極（m＞1）を持つとする。すなわち、ω（z0）＝Σ（n＝－m～∞）a_n×（z－z0）ⁿ で、ここで、a_－m≠0 。
両辺に、（z－z0）^mを掛けると、（z－z0）^mω（z0）＝Σ（n＝－m～∞）a_n×（z－z0）^n+m 、右辺を具体的に書けば、
右辺＝a_－m＋a_－m+1（z－z0）＋a_－m+2（z－z0）²＋・・a_－1（z－z0）^m－1＋a₀（z－z0）^m＋a₁（z－z0）^m+1＋・・
右辺を zで（m－1）回、微分すると、（m－1）!a_－1＋m!a₀（z－z0）＋・・となるので、z → z0の極限を取ると、
a_－1＝1/（m－1）! ×lim（z → z0）d^m－1/dz^m－1（（z－z0）^mω（z）） という公式が得られる。
例として、ω（z）＝exp（－z）/（sin（z））² の z0＝0の回りの周回積分を求めてご覧」

「z0＝0が2位の極だから、公式で、m＝2の場合に相当する。a_－1＝1/（1）! ×lim（z → 0）d/dz（z²ω（z））＝－1
従って、周回積分値＝－2π#i となる。DERIVEで検算すると近似値しか出ないけど、ま、ぴったりね」

５．留数定理

「今までは、特異点が1つしかない場合を考えてきたが、複数個の特異点がある場合にも留数の考え方は、有効じゃ。
複数の特異点を囲んだ閉曲線に沿った積分は、それぞれの留数の和×2π#iとして求められる。これを留数定理と呼んでいる」

「ハンドブックに具体例が載っているわね。ω（z）＝（4－3z）/（z（z－1））、
ここで、特異点は、1位の極が z＝0 とz＝1の2点である。
積分路がC1の場合は、留数＝lim（z→0）zω＝－4、
積分路がC2の場合は、留数＝lim（z→1）（z－1）ω＝1
そして、積分路がC3の場合は、留数＝－4＋1＝－3 となる。
従って、それぞれの小円の周回積分は、
C1について、－4×2π#i
C2について、1×2π#i
C3について、－3×2π#i となる」

「C3について、DERIVEで確かめてみよう。この場合は、円は、原点を中心とした半径1より大きい円とする。
計算すると、ただちに、－6π#i となった。これは、ともちゃんが留数で計算した値と一致するの。（当然ながら、ハンドブックの解答とも一致する。）」

６．定積分の計算（１）

「実関数の定積分への応用を勉強しよう。
一松信 著の「函数論入門」（培風館：昭和32年1月初版）（以下「一松本」という。）では、定積分への応用について、4つの場合に分けて解説している。
具体的には、
（１）複素平面上の閉曲線に沿う積分に変換する。
（２）適当な帰路を作って閉曲線にし、帰路に沿う積分は、別に求める。
（３）適当な帰路を作って閉曲線にし、往復の差から求める。
（４）適当な帰路を作って閉曲線にし、帰路に沿う積分が極限操作でゼロになることを利用する。
の４つである。
（１）の例として、同書の問1に次の問題が掲げてある。a＞0、a≠1、として、∫（原点中心の半径1の周回積分）1/（（z－a）（1－az））dz を求め、
それを利用して、∫（s＝0～2π）1/（1－2a cos（s）＋a²） ds の値を求めよ」

「ω＝1/（（z－a）（1－az））では、z＝a と z＝1/a が1位の極である。a＞1 の時は、原点中心の半径1の円内部には、z＝1/a しか極はないので、
留数＝lim（z → 1/a）（z－1/a）ω＝1/（a²－1）、従って、周回積分の値＝2π#i×1/（a²－1）
a＜1 では、同様に、閉曲線内部では、z＝a がただ1つの極である。留数＝lim（z→a）（z－a）ω＝1/（1－a²）、
従って、周回積分値＝2π#i×1/（1－a²）、以上をまとめると、積分値＝2π#i×1/（｜a²－1｜） である。
一方、周回積分値の式は、∫(#i/(－ 2aCOS(s) + a^2 + 1) ds となるが、これは、問題の積分の値を Ｊ としたとき、J×#i である。
そして、J×#i＝2π#i×1/（｜a²－1｜）であるから、J＝2π/（｜a²－1｜）として、求められる」

「よ！、ともちゃん。大正解じゃ」

「でも、あれだよね。∫（s＝0～2π）1/（1－a cos（s）＋a²） ds を求めたいときに、代わりに、1/（（z－a）（1－az）） という複素函数を使えばいいということが思い浮かばないよね？」

「その点じゃが、例のハンドブック（「科学技術者のための数学ハンドブック」：Tai I. Chow 著：鈴木増雄・香取眞理・羽田野直道・野々村禎彦訳：朝倉書店）では、もう少し、具体的に、被積分関数のタイプで処方を分類してある。そこでは、三角関数の有理関数の積分（s＝0～2π）を求める方法が紹介されている。
有理関数をG（sin（s），cos（s））で表すと、z＝exp（#i s）とおいて、sin（s）＝（exp（#is）－exp（－#is））/2#i＝（z－z^－1）/2#i、dz＝#i z ds、
cos（s）＝（exp（#is）+exp（－#is））/2＝（z+z^－1）/2、となるので、G＝G（（z－z^－1）/2#i，（z+z^－1）/2）＝ω（z）とすると、ωは、zの有理関数になる。
∫（s＝0～2π）G（sin（s），cos（s））ds＝∫（原点中心の円）ω（z）dz/（#i z） が得られる」

「さっきの問題では、∫1/（1－2a cos（s）+a²）ds なので、被積分関数は、cos（s）＝（z+z^－1）/2 を使うと、z/((a － z)(az － 1)) となり、
上記の公式より、∫（原点中心の半径1の円）z/((a － z)(az － 1)) /（#i z）dz＝#i∫1/（（z－a）（az－1））dz、
これでも、a＞1の場合は、留数＝lim（z→1/a）（z－1/a）ω＝#i/（1－a²）、積分値＝2π#i×#i/（1－a²）＝2π/（a²－1）、
また、a＜1の場合は、留数＝lim（z→a）（z－a）ω＝#i/（a²－1）、積分値＝2π#i×#i/（a²－1）＝2π/（1－a²）、となり、
先ほどの答えと同じとなるのね」

「ということは、いろいろな問題を作ることができるのじゃな。ハンドブックでは、次のような問題が挙げられている。
∫（s＝0～2π）1/（3－2cos（s）+sin（s））dsを求めよ」

「∫（s＝0～2π）1/（3－2cos（s）+sin（s））ds＝∫(2(1 + 2#i)/(5(z － 2 + #i)(z － 2/5 + #i/5)) dz、ここで、
被積分関数の分母のゼロ点は、2－#i、（2－#i）/5、これらは、それぞれ、1位の極である。
しかし、原点を中心とした半径1の内部には、（2－#i）/5の極のみがあるので、
留数＝lim（z－（2－#i）/5）(2(1 + 2#i)/(5(z － 2 + #i)(z － 2/5 + #i/5))＝－#i/2、従って、求める積分値は、2π#i×（－#i/2）＝πとなるわ」

「これも、正解じゃ。ちみみに、DERIVEでも問題の定積分値は、厳密解として、πが求まるの」

７．定積分の計算（２）

「「一松本」の（２） 『適当な帰路を作って閉曲線にし、帰路に沿う積分は、別に求める』の例として、同書に記載の次の問題を考えよう。
∫（x＝－∞～∞）exp（－（x+#i a）²）dx、aは、実数。
まずは、この積分がaに依存しないことを明らかにした上で、∫（－∞～∞）exp（－x²）cos（2ax）dx＝（√π）exp（－a²）を示せ」




「上の図のように、複素平面上の4点、A（－h，0）、B（h，0）、C（h，#ia）、D（－h，#ia）を結ぶ閉曲線、ABCD上での線積分、∫exp（－z²）dzを考える。
なお、h＞0の実数とする。被積分関数は、複素平面上の至るところ正則なので、当然、閉曲線内でも正則。
従って、この積分値は、ゼロに等しい。
以下、具体的に個別に4つの積分を計算する。

∫（A→B）＝∫（x＝－h～h）exp（－x²）dx、∫（B→C）＝∫（y＝0～a#i）exp（－（h+#i y）²）dy、
∫（C→D）＝∫（x＝h～－h）exp（－（x+#ia）²）dx＝－∫（x＝－h～h）exp（－（x+#ia）²）dx、
∫（D→A）＝∫（y＝#ia～0）exp（－（h+#i y）²）dy＝－∫（y＝0～#ia）exp（－（h+#i y）²）dy、
すると、0＝∫（A→B）＋∫（B→C）＋∫（C→D）＋∫（D→A）であるが、∫（B→C）＋∫（D→A）＝0なので、
∫（x＝－h～h）exp（－x²）dx＝∫（x＝－h～h）exp（－（x+#ia）²）dx 、hは無限大の極限を取ることができるので、前半が証明できた。
後半は、∫（－∞～∞）exp（－x²）cos（2ax）dx＝∫exp（－x²）（exp（#i 2ax）＋exp（－#i 2ax））/2 dx
＝（1/2）（∫exp（－x²+2#iax）dx＋∫exp（－x²－2#iax）dx）、
一方、前半より、∫（x＝－∞～∞）exp（－（x+#i a）²）dx＝∫（x＝－∞～∞）exp（－x²）dx、この積分は、別途計算すると√πであることが分かる。
そして、左辺は、∫（x＝－∞～∞）exp（－（x+#i a）²）dx＝exp（a²）∫exp（－x²－2#iax）dx と展開でき、
結局、∫exp（－x2－2#iax）dx＝exp（－a²）√πとなる。aは、－aと置いても正しいので、∫exp（－x2+2#iax）dx＝exp（－a²）√πでもある。
よって、∫（－∞～∞）exp（－x²）cos（2ax）dx＝（1/2）（exp（－a²）√π＋exp（－a²）√π）＝exp（－a²）√π」

「そのとおりじゃ。∫（－∞～∞）f（x）dx という定積分は、いろいろな場面で必要になる。
ハンドブックでは、
f（x）が有理関数の分数式で、分母の次数が分子よりも2以上次数が大きく、実根を持たない時、∫f（z）dzで計算できることが証明されている。
なお、積分路は、下図のように取り、r → ∞の極限を取る。
このことは、「一松本」でも証明されているので、応用範囲が広いということであろう。
そうすると、この複素積分は、半円内にある、留数を元に計算できることが留数定理から分かる。
簡単な例として、∫（－∞～∞）1/（x²+1）dx＝πを計算してご覧」

「えーと。分母は、1+x² で、分子は、1の有理関数なので、ハンドブックの方法が使える。
問題の積分の代わりに、∫（半円）1/（z²+1）dz を計算する。
rが十分大きいときは、1位の極、＋#i が半円内の含まれる。もう一つの極、－#iは、範囲外である。
従って、－#iの留数＝lim（z→#i）（z－#i）×1/（z²+1）＝－#i/2、
よって、定積分の値は、－#i/2×2π#i＝πとなる」

「OKじゃのう。
では、今回の1節で例示した、∫（0～∞）1/（x⁴+1）dxを計算してみよう。
1/（x⁴+1）は、偶関数なので、（－∞～∞）での積分値を計算した後に2で割ればよいことに注意する。
そうすると、ともちゃんがやったのと同じ考え方で、上半円内にある特異点は、z = － √2/2 + √2#i/2、z = √2/2 + √2#i/2 の2点である。
それぞれの点での留数は、(√2/8 － √2 #i/8)、(－ √2/8 － √2 #i/8) であるので、2π#i×（√2/8 － √2 #i/8＋－ √2/8 － √2 #i/8）＝（π√2）/2、
求める定積分値は、この半分なので、∫（0～∞）1/（x⁴+1）dx＝π/（2√2） となる。
なお、DERIVEで計算しても、同一値が得られる」

８．定積分の計算（３）

「『一松本』の3つ目、『適当な帰路を作って閉曲線にし、往復の差から求める』の例として、掲げているのが、
∫（－∞～∞）1/（exp（x）＋exp（－x））dx じゃ。もっとも、同書の脚注にあるように、不定積分、ATAN（exp（x））が容易に求まり、定積分値は、π/2じゃ。
ここでは、複素関数、z/（exp（z）＋exp（－ z））を考える。分母のゼロ点は、z = π#i/2 ＋n π#i、n＝0、±1、2、・・である。
左図のような積分路に沿って、∫z/（exp（z）＋exp（－ z））dzを計算する。
長方形の閉曲線内の特異点は、π#i/2、3π#i/2、の2つの1位の極である。
留数は、π/4、－3π/4 であるので、積分値は、2π#i×（π/4－3π/4）＝－π²#i
一方、∫A→B＝∫（－h～h）（x/（exp（x）+exp（－x）））dx
∫B→C＝∫（0～2π#i）（（h+#iy）/（exp（h+#iy）+exp（h－#iy）））dy
∫C→D＝∫（h～－h）（（x+2π#i）/（exp（x+2π#i）+exp（－x－2π#i）））dx＝∫（－h～h）（（－x－2π#i）/（exp（x+2π#i）+exp（－x－2π#i）））dx
∫D→A＝∫（2π#i～0）（（－h+#iy）/（exp（－h+#iy）+exp（－h－#iy）））dy＝∫（0～2π#i）（（h－#iy）/（exp（－h+#iy）+exp（－h－#iy）））dy
ここで、∫B→C、∫D→Aは、h→∞で、ゼロになる。
また、∫C→Dの分母の exp（x+2π#i）＝exp（x）、exp（－x－2π#i）＝exp（－x）、なので、
∫C→D＝∫（－h～h）（（－x）/（exp（x）+exp（－x）））dx－（2π#i）∫（－h～h）（1/（exp（x）+exp（－x）））dx
よって、－π²#i＝∫（－h～h）（x/（exp（x）+exp（－x）））dx－∫（－h～h）（x/（exp（x）+exp（－x）））dx－（2π#i）∫（－h～h）（1/（exp（x）+exp（－x）））dx
ゆえに、∫（－h～h）（1/（exp（x）+exp（－x）））dx＝－π²#i/（－（2π#i））＝π/2 となる」

９．定積分の計算（４）

「定積分の計算への応用として、最後の問題は、∫（－∞～∞）f（x）×exp（#i m x）dx というフーリエ積分タイプの定積分じゃ。
ここで、『一松本』では、f（x）が分数式の形で、実根はなく、また、分母の次数が分子のそれよりも1次以上高次としたとき、
∫（－∞～∞）f（x）×（cos（x）＋#i sin（x））dx＝2π#i×（∫f（z）exp（#i m z）dzの留数）となる。
積分経路は、左図のように取る。
証明は、前述の本などを参照して欲しい。
まず、∫（－∞～∞）（cos（m x）/（x²+k²））dx、m＝1、2、・・、k＞0の実数とする」



「上の処方箋に従うと、求めたい定積分の代わりに、∫exp（#imz）/（z²+k²）dzを考える。
上半円内の極は、z＝k #i のみである。留数は、(－ #i exp(－ km)/(2k)) なので、
∫（－∞～∞）（exp（#i m x）/（x²+k²））dx＝－2π#i×（－ #i exp(－ km)/(2k))
＝πexp（－ km)/k 、となるので、∫（－∞～∞）（cos（m x）/（x²+k²））dx＝πexp（－ km)/k、∫（－∞～∞）（sin（m x）/（x²+k²））dx＝0 である」

「そのとおり。
これ以外に、実軸上に極のある場合などが、残ってしまったが、だいぶ、長くなってきたので、今回は、ここまでとしよう。
いや、ともちゃんもお疲れさんじゃった」

最終更新日　2008/10/30